MATEBLOGS: abril 2013

domingo, 28 de abril de 2013

Criterios de existencia de las asintotas horizontales y oblicuas.

Asíntotas horizontales (paralelas al eje OX)
Si existe el límite: :

La recta “y = b” es la asíntota horizontal.
Ejemplo:
es la asíntota horizontal.

Asíntotas oblicuas (inclinadas)
Si existen los límites: :
La recta “y = mx+n” es la asíntota oblicua.
Ejemplo:
es la asíntota oblicua.

sábado, 27 de abril de 2013

Asíntotas verticales.

Las asíntotas verticales son rectas verticales a las cuales la función se va acercando indefinidamente sin llegar nunca a cortarlas.

Las asíntotas verticales son rectas de ecuación: x = k.

K son los puntos que no pertenecen al dominio de la función (en las funciones racionales).

Ejemplo:

Asíntotas horizontales.

Las asíntotas horizontales son rectas horizontales a las cuales la función se va acercando indefinidamente.

Las asíntotas horizontales son rectas de ecuación: y = k.

Ejemplo:

Dominio de definición de una función racional.

En matemáticas, el dominio (conjunto de definición o conjunto de partida) de una función $f \colon X \to Y \,$ es el conjunto de existencia de ella misma, es decir, los valores para los cuales la función está definida. Es el conjunto de todos los objetos que puede transformar, se denota $\operatorname{Dom}_f\,$ o bien $D_f\,$ . En $\R^n$ se denomina dominio a un conjunto conexo, abierto y cuyo interior no sea vacío.

Función racional.

En matemáticas, una función racional es una función que puede ser expresada de la forma:

$f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$

donde P y Q son polinomios y x una variable, siendo Q distinto del polinomio nulo. Las funciones racionales están definidas o tienen su dominio de definición en todos los valores de x que no anulen el denominador.

La palabra "racional" hace referencia a que la función racional es una razón o cociente (de dos polinomios); los coeficientes de los polinomios pueden ser números racionales o no.

Las funciones racionales tienen diversas aplicaciones en el campo del análisis numérico para interpolar o aproximar los resultados de otras funciones más complejas, ya que son computacionalmente simples de calcular como los polinomios, pero permiten expresar una mayor variedad de comportamientos.

Teorema fundamental del álgebra.

El teorema se enuncia comúnmente de la siguiente manera:

Todo polinomio en una variable de grado n ≥ 1 con coeficientes reales o complejos tiene por lo menos una raíz (real o compleja).

Es ampliamente conocido también el enunciado: Un polinomio en una variable, no constante y con coeficientes complejos, tiene tantas raíces como indica su grado, contando las raíces con sus multiplicidades. En otras palabras, dado un polinomio complejo p(z) de grado n ≥ 1, la ecuación p(z) = 0 tiene exactamente n soluciones complejas, contando multiplicidades.

Otras formas equivalentes del teorema son:

El cuerpo de los complejos es cerrado para las operaciones algebraicas.
Todo polinomio complejo de grado n ≥ 1 se puede expresar como un producto de n polinomios lineales, es decir

$p(z) = \sum_{k=0}^n a_k \, z^k = a_n \, \prod_{i=1}^n (z-b_i).$

División Sintética.

La división sintética se realiza para simplificar la división de un polinomio entre otro polinomio de la forma x – c, logrando una manera mas compacta y sencilla de realizar la división.
Ilustraremos como el proceso de creación de la división sintética con un ejemplo:
Comenzamos dividiéndolo normalmente

Pero resulta mucho escribir pues repetimos muchos términos durante el procedimiento, los términos restados

pueden quitarse sin crear ninguna confusión, al igual que no es necesario bajar los términos

. al eliminar estos términos repetidos el ejercicio nos queda:

Ahora si mantenemos las potencias iguales de x en las columnas de cada potencia y colocando 0 en las faltantes se puede eliminar el escribir las potencias de x, así:

Como para este tipo de división solo se realiza con para divisores de la forma x – c entonces los coeficientes de la parte derecha siempre son 1 – c, por lo que podemos descartar el coeficiente 1 y el signo negativo, también se puede lograr una forma más compacta al mover los números hacia arriba, nos queda de la siguiente forma:

Si ahora insertamos a la primera posición del último renglón al primer coeficiente del residuo (2), tenemos que los primeros números de este renglón son los mismos coeficientes del cociente y el último número es el residuo, como evitamos escribir dos veces eliminamos el cociente.

Teorema del factor y del residuo.

Teorema del residuo

Si se divide la función polinomial ƒ(x) entre el binomio x - a donde a es un número real, el residuo es igual a ƒ(a).

El teorema del residuo indica que el resultado de evaluar numéricamente una función polinomial para un valor a es igual al residuo de dividir el polinomio entre x - a. Un ejemplo de esto se ilustra en la parte de arriba. Se recomienda que el lector realice otras comprobaciones. Una conclusión muy importante del teorema del residuo es se puede evaluar numéricamente una función polinomial usando la división sintética.

A partir de lo anterior, si ƒ(a) = 0, entonces x - a es un factor del polinomio porque el residuo es cero. Cuando se encuentra un valor de x para el cual ƒ(x) = 0 se ha encontrado una raiz del polinomio, en el supuesto anterior, a es una raiz del polinomio.

Teorema del factor

Si a es una raiz de ƒ(x), entonces x - a es un factor del polinomio, donde a es un número real.

Aqui podemos observar la importancia de conocer el valor del residuo, ya que si éste es igual a cero, nos va a indicar que hemos encontrado un factor del polinomio y con él, una raiz del polinomio (una solución a la ecuación polinomial ƒ(x) = 0).

Ceros y raíces de la función.

En matemática, se conoce como raíz (o cero) de una función (definida sobre un cierto cuerpo algebraico) f(x) a todo elemento x perteneciente al dominio de dicha función tal que se cumpla:

$f(x) = 0 \,$ .

Por ejemplo, dada la función:

$f(x) = x^2 - 6x + 8 \,$

Planteando y resolviendo la ecuación:

$0 = x^2 - 6x + 8 \,$

Se tiene que 2 y 4 son raíces (ver ecuación de segundo grado) ya que f(2) = 0 y f(4) = 0.

Modelo matemático de las funciones polinomiales de grados: tres y cuatro.

Parámetros de las funciones de grado: cero, uno y dos.

-La función constante. La función de grado cero es la que se conoce como función constante, ésta es un caso particular de la función Polinomial y se inició con ella en el primer bloque; su forma es: f(x)= a, donde “a” es una constanteSu gráfica es una recta paralela al eje X y corta al eje Y en el punto (0, a)-La función lineal. La ecuación lineal en su forma pendiente-ordenada en el origen es: y=mx+bDonde m es la pendiente de la recta y b es la ordenada del origen.Vista como una función se representa de la siguiente manera: f(x) = mx+b-La función cuadrática. Las funciones cuadráticas se caracterizan por su grado 2, éstas se expresan en su forma general como f(x)= ax^2+bx+c ,con la condición de que su coeficiente principal es diferente de cero (a ≠ 0) La clasificación de las ecuaciones cuadráticas depende de los términos que aparezcan en ellas.Se les llama completas cuando poseen todos los términos, e incompletas cuando carecen de alguno. Si no tiene el término lineal se denominan puras, y si no aparece el término independiente se conocen como mixtas.

Características de las funciones polinomiales de grados: cero, uno y dos.

Características de las funciones polinómicas de grados: cero, uno y dos.El grado de un polinomio está dado por el mayor exponente de la variable en el polinomio, independientemente del orden en el que estén los términos, como se muestra en las siguientes funciones:Es de grado cero, se le conoce como función constante.