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domingo, 28 de abril de 2013

Criterios de existencia de las asintotas horizontales y oblicuas.

Asíntotas horizontales (paralelas al eje OX)
Si existe el límite: :

La recta “y = b” es la asíntota horizontal.
Ejemplo:
es la asíntota horizontal.

Asíntotas oblicuas (inclinadas)
Si existen los límites: :
La recta “y = mx+n” es la asíntota oblicua.
Ejemplo:
es la asíntota oblicua.

sábado, 27 de abril de 2013

Asíntotas verticales.

Las asíntotas verticales son rectas verticales a las cuales la función se va acercando indefinidamente sin llegar nunca a cortarlas.

Las asíntotas verticales son rectas de ecuación: x = k.

K son los puntos que no pertenecen al dominio de la función (en las funciones racionales).

Ejemplo:

Asíntotas horizontales.

Las asíntotas horizontales son rectas horizontales a las cuales la función se va acercando indefinidamente.

Las asíntotas horizontales son rectas de ecuación: y = k.

Ejemplo:

Dominio de definición de una función racional.

En matemáticas, el dominio (conjunto de definición o conjunto de partida) de una función $f \colon X \to Y \,$ es el conjunto de existencia de ella misma, es decir, los valores para los cuales la función está definida. Es el conjunto de todos los objetos que puede transformar, se denota $\operatorname{Dom}_f\,$ o bien $D_f\,$ . En $\R^n$ se denomina dominio a un conjunto conexo, abierto y cuyo interior no sea vacío.

Función racional.

En matemáticas, una función racional es una función que puede ser expresada de la forma:

$f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$

donde P y Q son polinomios y x una variable, siendo Q distinto del polinomio nulo. Las funciones racionales están definidas o tienen su dominio de definición en todos los valores de x que no anulen el denominador.

La palabra "racional" hace referencia a que la función racional es una razón o cociente (de dos polinomios); los coeficientes de los polinomios pueden ser números racionales o no.

Las funciones racionales tienen diversas aplicaciones en el campo del análisis numérico para interpolar o aproximar los resultados de otras funciones más complejas, ya que son computacionalmente simples de calcular como los polinomios, pero permiten expresar una mayor variedad de comportamientos.

Teorema fundamental del álgebra.

El teorema se enuncia comúnmente de la siguiente manera:

Todo polinomio en una variable de grado n ≥ 1 con coeficientes reales o complejos tiene por lo menos una raíz (real o compleja).

Es ampliamente conocido también el enunciado: Un polinomio en una variable, no constante y con coeficientes complejos, tiene tantas raíces como indica su grado, contando las raíces con sus multiplicidades. En otras palabras, dado un polinomio complejo p(z) de grado n ≥ 1, la ecuación p(z) = 0 tiene exactamente n soluciones complejas, contando multiplicidades.

Otras formas equivalentes del teorema son:

El cuerpo de los complejos es cerrado para las operaciones algebraicas.
Todo polinomio complejo de grado n ≥ 1 se puede expresar como un producto de n polinomios lineales, es decir

$p(z) = \sum_{k=0}^n a_k \, z^k = a_n \, \prod_{i=1}^n (z-b_i).$

División Sintética.

La división sintética se realiza para simplificar la división de un polinomio entre otro polinomio de la forma x – c, logrando una manera mas compacta y sencilla de realizar la división.
Ilustraremos como el proceso de creación de la división sintética con un ejemplo:
Comenzamos dividiéndolo normalmente

Pero resulta mucho escribir pues repetimos muchos términos durante el procedimiento, los términos restados

pueden quitarse sin crear ninguna confusión, al igual que no es necesario bajar los términos

. al eliminar estos términos repetidos el ejercicio nos queda:

Ahora si mantenemos las potencias iguales de x en las columnas de cada potencia y colocando 0 en las faltantes se puede eliminar el escribir las potencias de x, así:

Como para este tipo de división solo se realiza con para divisores de la forma x – c entonces los coeficientes de la parte derecha siempre son 1 – c, por lo que podemos descartar el coeficiente 1 y el signo negativo, también se puede lograr una forma más compacta al mover los números hacia arriba, nos queda de la siguiente forma:

Si ahora insertamos a la primera posición del último renglón al primer coeficiente del residuo (2), tenemos que los primeros números de este renglón son los mismos coeficientes del cociente y el último número es el residuo, como evitamos escribir dos veces eliminamos el cociente.